Exercice n°1 :
Soit f
la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 20] par
: .
Démontrer que f est croissante sur [0 ; 20].
Dresser le tableau des variations de f sur l'intervalle [0; 20].
Soit h
la fonction définie et dérivable sur [0; 20] par :
.
a) Démontrer que pour x
0 on a
.
b) En déduire le sens de variation de h
sur [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.
Démontrer que l'équation
= 0 admet sur [0 ; 20] une solution unique a
et que a
appartient à l'intervalle [6 ; 7].
Montrer qu'une valeur approchée de
a
à 10-2 près
est 6,07.
Dans toute la suite du problème on prendra cette valeur pour a.
Déterminer le signe de h(x) sur [0 ; 20].
Dans une entreprise, le coût de fabrication,
exprimé en milliers d'euros, de x
centaines d'appareils est donné par :
pour x
[0 ; 20].
Sachant qu'un appareil est vendu au prix unitaire
de 850 euros, montrer que le bénéfice réalisé
par l'entreprise pour x centaines
d'appareils produits et vendus, exprimé en milliers d'euros, est
donné par l'expression : .
a) Étudier le sens de variation de
la fonction B sur [0 ; 20].
b) Déterminer la quantité à produire et à vendre
pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal;
préciser cette quantité à l'unité près.
c) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, les quantités
de pièces à produire et à vendre à l'unité
près pour que l'entreprise ne travaille pas à perte (aucune
autre justification n'est demandée).
Exercice n°2 :
Le tableau ci-dessous indique le taux de départ en vacances (en %) des Français de 1965 à 1993.
Années xi |
1965 |
1975 |
1980 |
1985 |
1990 |
1992 |
1993 |
Taux yi |
41 |
52,5 |
57,2 |
57,5 |
59,1 |
60 |
60,9 |
a) Représenter le nuage de points associé
à la série statistique (xi;
yi)
dans un repère orthogonal :
- sur l'axe des abscisses on placera 1965 à l'origine et on choisira
0,5 cm pour unité;
- sur l'axe des ordonnées, on placera 40 à l'origine et on
choisira 1 cm pour unité.
b) Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et placer
ce point sur le graphique précédent.
a) Déterminer une équation de
la droite d'ajustement d
de y en x
par la méthode des moindres carrés en arrondissant au centième.
b) Tracer la droite d sur
le graphique précédent.
c) En supposant que l'évolution se poursuive de la même manière
pour les années suivantes, estimer le taux de départ en vacances
des Français en l'an 2005.
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