DEVOIR SURVEILLE 6

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Exercice n°1 :

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 20] par : .

1. Démontrer que f est croissante sur [0 ; 20].

2. Dresser le tableau des variations de f sur l'intervalle [0; 20].

Partie B

Soit h la fonction définie et dérivable sur [0; 20] par : .

1. a) Démontrer que pour x 0 on a .
   b) En déduire le sens de variation de h sur [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.

2. Démontrer que l'équation = 0 admet sur [0 ; 20] une solution unique a
   et que a appartient à l'intervalle [6 ; 7].

3. Montrer qu'une valeur approchée de a à 10^-2 près est 6,07.
   Dans toute la suite du problème on prendra cette valeur pour a.

4. Déterminer le signe de h(x) sur [0 ; 20].

Partie C : Application économique

Dans une entreprise, le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, de x centaines d'appareils est donné par : pour x [0 ; 20].

1. Sachant qu'un appareil est vendu au prix unitaire de 850 euros, montrer que le bénéfice réalisé par l'entreprise pour x centaines d'appareils produits et vendus, exprimé en milliers d'euros, est donné par l'expression : .

2. a) Étudier le sens de variation de la fonction B sur [0 ; 20].
   b) Déterminer la quantité à produire et à vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal; préciser cette quantité à l'unité près.
   c) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, les quantités de pièces à produire et à vendre à l'unité près pour que l'entreprise ne travaille pas à perte (aucune autre justification n'est demandée).

Exercice n°2 :

Le tableau ci-dessous indique le taux de départ en vacances (en %) des Français de 1965 à 1993.

1. a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i; y_i) dans un repère orthogonal :
   - sur l'axe des abscisses on placera 1965 à l'origine et on choisira 0,5 cm pour unité;
   - sur l'axe des ordonnées, on placera 40 à l'origine et on choisira 1 cm pour unité.
   b) Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et placer ce point sur le graphique précédent.

2. a) Déterminer une équation de la droite d'ajustement d de y en x par la méthode des moindres carrés en arrondissant au centième.
   b) Tracer la droite d sur le graphique précédent.
   c) En supposant que l'évolution se poursuive de la même manière pour les années suivantes, estimer le taux de départ en vacances des Français en l'an 2005.