Devoir Surveillé n°3 (2heures)
Le barème est donné à titre indicatif
Exercice n°1: 4 points (1 point par réponse juste -0,5 par réponse fausse).
QCM : Choisir la (ou les) réponse(s) correcte(s).
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3) Soit h la fonction définie sur |
4) La fonction f dérivable sur |
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Exercice n°2:6 points
On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce.
Il
doit donc vérifier les conditions suivantes :
Il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
Il doit être tangent au sol au point B.
Les coordonnées de A sont donc (0 ; 2) celles de B sont (4 ; 0).
On donne le croquis ci-contre.
Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure du toboggan et vérifient les conditions de l'énoncé.
Une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir? Expliquer pourquoi.
On décide de donner au toboggan, un profil correspondant
à la courbe représentative d'une fonction polynôme P
de degré 3 dans un repère
avec :
.
a) Trouver a, b, c et d pour que P vérifie
les conditions données.
b) On considère la fonction h définie sur [0 ; 4] par
: .
Etudier les variations de h et donner son tableau de variations.
c) Calculer la pente maximale (c'est à dire le maximum de )
du toboggan dans ce cas.
d) Donner l'équation de la tangente à Ch
au point d'abscisse 2.
Exercice n°3:2 points
Soient et
deux
vecteurs du plan tels que
et
.
Calculer .
Soient A, B, C trois points du plan tels
que
et
.
Donner une valeur approchée de
.
Exercice n°4: 6,5 points
PARTIE A :Question
de cours : 1,5 points
Dans un repère orthonormal du plan, pour deux vecteurs quelconques
et
,
démontrer que .
PARTIE
B :
On considère un carré ABCD. On construit un
rectangle APQR tel que ,
et
.
On veut démonter que les droites (CQ) et (RP) sont perpendiculaires.
1ère méthode :
2,5 points
a) Justifier l'égalité .
b) Conclure.
2ème méthode : 2,5 points
On considère le repère
et on pose AP = x.
a) Donner les coordonnées de C, Q, P et R.
On justifiera un minimum.
b) En déduire .
c) Conclure.
Exercice n°5: 1,5 points + bonus Les proportions d'une casserole économique.
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :
Comment fabriquer une casserole de volume V donné avec le moins de métal possible?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et A l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'aire du fond.
Question
préliminaire : 1,5
points
Etudier les variations sur ]0 ; + ∞[
de la fonction
.
a)
Démontrer que .
b) Démontrer que .
En
utilisant les questions 1) et 2), conclure en montrant que h
= x.