DEVOIR SURVEILLE N°9

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Exercice n°1 :

Une boite contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement sans remise deux boules de la boite. Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro, si elles sont de couleurs différentes le joueur perd 1 euro.

  1. Dans cette question, on suppose n=3. Calculer les probabilités d'obtenir :
    a) deux boules de même couleur.
    b) deux boules de couleurs différentes.

  2. Dans cette question, l'entier n est quelconque, supérieur ou égal à 2.
    On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules associe le gain "algébrique" du joueur.
    a) Exprimer, en fonction de
    n, les probabilités des évènements et .
    b) Prouver que l'espérance mathématique E(X) est telle que :
    .
    c) Pour quelles valeurs de
    n, le jeu est-il équitable?
    d) Pour quelles valeurs de
    n le jeu est-il défavorable?

Exercice n°2 :

  1. Soit f la fonction définie sur par .
    On note
    sa courbe représentative dans un repère orthonormal : l’unité graphique est 2 cm.

  1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.. En déduire des asymptotes éventuelles à .

  2. Etudier les variations de f sur et établir son tableau de variations complet.

  3. a) Démontrez que la droite d'équation y = x est tangente à au point d'abscisse 1.
    b) Construire
    , ses asymptotes et .

  1. Soit la suite définie par : .

  1. Pour quelle valeur de u0, la suite est-elle constante?

  2. A l’aide de et de la droite d’équation , représenter graphiquement les premiers termes de la suite . Quelles conjectures peut-on émettre ?

  3. a) Démontrer que pour tout entier n on a : .
    b) En déduire que (
    un) est croissante.

  4. Soit () la suite définie pour tout par : .
    a) Montrer que la suite (
    ) est arithmétique : on indiquera sa raison. Exprimer alors en fonction de n.
    d) Quelle est la limite de (
    vn)? En déduire celle de (un).

Exercice n°3 :

Dans un repère orthonormal (O, , ), on a : . Soit M(x ; y) un point du plan.

  1. Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble C des points M du plan tels que .

  2. En déduire la nature de C et indiquer ses éléments caractéristiques.

Exercice n°4 : bonus

Dans un repère orthonormal , P est la parabole d'équation y = x2, A le point d'abscisse 2 et TA la tangente en A à P.
a) Démontrer qu'il existe exactement deux cercles tangents en A à T
A et tangents à l'axe des abscisses.
b) Trouver une équation de chacun de ces cercles.

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