DEVOIR SURVEILLE N°9

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Exercice n°1 :

Une boite contient 6 boules rouges et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement sans remise deux boules de la boite. Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne 1 euro, si elles sont de couleurs différentes le joueur perd 1 euro.

1. Dans cette question, on suppose n=3. Calculer les probabilités d'obtenir :
   a) deux boules de même couleur.
   b) deux boules de couleurs différentes.

2. Dans cette question, l'entier n est quelconque, supérieur ou égal à 2.
   On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de deux boules associe le gain "algébrique" du joueur.
   a) Exprimer, en fonction de n, les probabilités des évènements et .
   b) Prouver que l'espérance mathématique E(X) est telle que : .
   c) Pour quelles valeurs de n, le jeu est-il équitable?
   d) Pour quelles valeurs de n le jeu est-il défavorable?

Exercice n°2 :

1. Soit f la fonction définie sur par .
   On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal : l’unité graphique est 2 cm.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.. En déduire des asymptotes éventuelles à .

2. Etudier les variations de f sur et établir son tableau de variations complet.

3. a) Démontrez que la droite d'équation y = x est tangente à au point d'abscisse 1.
   b) Construire , ses asymptotes et .

2. Soit la suite définie par : .

1. Pour quelle valeur de u₀, la suite est-elle constante?

2. A l’aide de et de la droite d’équation , représenter graphiquement les premiers termes de la suite . Quelles conjectures peut-on émettre ?

3. a) Démontrer que pour tout entier n on a : .
   b) En déduire que (u_n) est croissante.

4. Soit () la suite définie pour tout par : .
   a) Montrer que la suite () est arithmétique : on indiquera sa raison. Exprimer alors en fonction de n.
   d) Quelle est la limite de (v_n)? En déduire celle de (u_n).

Exercice n°3 :

Dans un repère orthonormal (O, , ), on a : . Soit M(x ; y) un point du plan.

1. Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble C des points M du plan tels que .

2. En déduire la nature de C et indiquer ses éléments caractéristiques.

Exercice n°4 : bonus

Dans un repère orthonormal , P est la parabole d'équation y = x², A le point d'abscisse 2 et T_A la tangente en A à P.
a) Démontrer qu'il existe exactement deux cercles tangents en A à T_A et tangents à l'axe des abscisses.
b) Trouver une équation de chacun de ces cercles.