DEVOIR SURVEILLE N°4

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Durée 2h

Exercice n°1 : 3 points

Exprimer en fonction de x, les dérivées des fonctions suivantes : et .

Exercice n°2 : 5 points

S oit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0; 4] dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal est la courbe C ci-dessous. Les points M, N, P, Q et R appartiennent à C.
Les coordonnées de M sont , celles de N sont , celles de P sont , celles de Q sont et celles de R sont .

La courbe C admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La droite est la tangente à la courbe C au point P; elle passe par le point S de coordonnées (3; 1).

1. a) Déterminer graphiquement , et .
   b) Déterminer une équation de la droite .

2. La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur l'intervalle [0 ; 4].
   Donner le sens de variation de F.

3. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0; 4] par .
   Donner le tableau de variations de f et en déduire le tableau de variations de n.

Exercice n°3 : 12 points

Soit la fonction h définie sur par : où m et p sont des nombres réels quelconques.

1. Justifier que h est définie sur .

2. Calculer les nombres m et p pour que , la courbe représentative de h, passe par le point A de coordonnées (2 ;0) et admette au point B, d’abscisse 1, une tangente parallèle à la droite d’équation.

3. On considère la fonction g définie sur par : .
   a) Etudier les variations de g.
   b) Donner le tableau de variations de g.(on admettra que g se rapproche de 1 quand x se rapproche de et quand x se rapproche de ).
   c) g admet-elle des extremums sur ? Sur ? Et sur ? Justifier.
   d) Prouver que  admet un centre de symétrie.
   e) Donner une équation de la tangente à  au point d'abscisse 0.
   f) Construire  dans un repère orthonormal bien choisi ainsi que les tangentes vues précédemment.
   g) Soit un nombre réel, démontrer que est équivalent à .
   h) En déduire graphiquement, selon les valeurs de , le nombre de solutions de l’équation .
   i) En déduire, sans calculer le discriminant, le nombre de racines du polynôme :.

Correction

Exercice n°1 : 3 points

p est de la forme : avec et .

Donc .

Exercice n°2 : 5 points

1. a) , et ce sont les coefficients directeurs des tangentes à la courbe.
   b) On a déjà le coefficient directeur on trouve l'ordonnée à l'origine en utilisant que S appartient à et donc ses coordonnées vérifient l'équation de .

2. f est positive sur [0;4] donc F est croissante sur [0;4].

3. n est la composée de la fonction f suivie de la fonction inverse. La fonction inverse étant décroissante donc pour trouver les variations de n il suffit de faire les variations inverses de f.

Exercice n°3 : 12 points

1. pour que h soit définie , il faut que le dénominateur ne soit pas égal à zéro. On calcul le discriminant. Il est négatif donc .

2. car
   Donc

3. a) On doit étudier le signe de
   puis on étudie le signe de g' en étudiant le signe de 4x et celui de x-1: et

c) g admet un minimum 0 sur , mais pas de maximum. En effet ce maxi pourrait être 1, mais il n'existe pas de réel r de tel que g(r)=1.

Par contre sur g(1)=1 donc 1 est le maximum.

Sur , max 2 et min 0.

d) Le centre de symétrie est A(1;1). Pour le prouver, on prend un réel quelconque que l'on note h et on calcul g(1+h)+g(1-h) et on doit trouver 2.

e)
f)construction….
g) h et i seront corrigés en cours.