DEVOIR SURVEILLE N°4

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Durée 3 heures

Exercice n°1 : (5 points)

Une boite contient 8 cubes:

Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boite (on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur).

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1)      On note: A, l'événement : « Obtenir des cubes de couleurs différentes » ;
B, l'événement : « Obtenir au plus un petit cube ».
a) Calculer la probabilité de A.
b) Vérifier que la probabilité de B est égale à .

2)      Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l'enfant.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.

3)      L'enfant répète n fois l' épreuve « Tirer simultanément trois cubes de la boite », en remettant dans la boite les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants.
On note P_n la probabilité que l'événement B soit réalisé au moins une fois.
a) Déterminer P_n en fonction de n.
b) Déterminer le plus petit entier n tel que P_n  0,99.

Exercice n°2 : (3 points)

Exercice n°3 : (4 points)

Exercice n°4 : (3 points)

Exercice n°5 : (4 points)

Résolution de l'équation différentielle (1) :

1)      Résoudre l'équation différentielle (2) : , où y désigne une fonction dérivable sur .

2)      Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur  par .
a) Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1).
b) Montrer que v est une solution de l'équation (2) si, et seulement si, u + v est solution de (1).
c) En déduire l'ensemble des solutions de (1).

3)      Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0.

Exercice n°6 : (1 points)

Résoudre dans  l’inéquation :