DEVOIR SURVEILLE N°1

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Exercice n°1 : (points)

Déterminer les entiers relatifs x et y vérifiant :

Exercice n°2 : (points)

Démontrer que  est divisible par 11, pour tout n entier naturel.

Exercice n°3 : (points)

1)      En utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux.

2)      En déduire l’existence de deux entiers relatifs a et b tels que : .

3)      Donner deux entiers relatifs a et b vérifiant l’équation précédente.

Exercice n°4 : (points)

1)      Démontrer que le carré d’un entier n est congru modulo 8 à 0, 1 ou 4.

2)      Résoudre dans  l’équation : .

Exercice n°5 :

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère les nombres entiers :  et  et d leur PGCD.

1)      Montrer que  n’est pas premier. (on pourra utiliser, en le justifiant, que )

2)      Montrer que tout diviseur de A qui divise n divise 2.

3)      Montrer que tout diviseur commun de A et de B divise 4n.

4)      On suppose que n est impair.
a) Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.
b) Montrer que d divise n.
c) En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

Exercice n°6 : (points) Franchement immorale …

Je vais voir tous les matins l’une de mes trois maîtresses, Paulette, Louisette et Josette. Le mari de Paulette est professeur, il enseigne tous les matin sauf le mercredi et le dimanche où il sort pour sa partie de tennis hebdomadaire. Le mari de Louisette est routier, il est absent deux jours sur trois , il est parti hier matin de bonne heure. Celui de Josette est cosmonaute, il survole sa maison tous les cinq jours, il est passé avant hier. Nous sommes lundi. Dans combien de jours, devrai-je passer un triste matin solitaire. Justifier.