BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC

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SESSION 2006

MATHÉMATIQUES

Série : S

Durée du l’épreuve : 4h

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

 

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.

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EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 5 points

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n-1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1)      Calculer p2,p3, p4.

2)      On considère les évènements suivants :
Bn : « on tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n-1 premiers tirages ».
a ) Calculer la probabilité de l’événement Bn.
b) Exprimer la probabilité de l’événement Un en fonction de n.
c) En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : .

3)      On suppose Sn=p2+p3+…..+pn.
a) Démonter par récurrence que pour tout n entier supérieur ou égal à 2, on a : .
b) Déterminer la limite de Sn.

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EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct  unité graphique : 2cm.

On appelle A le point d’affixe -2i.

A tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe : .

1)      On considère le point B d’affixe .
Déterminer la forme algébrique des affixes a’ et b’ des points A’ et B’ associés respectivement  aux points A et B. Placer ces points sur la figure.

2)      Montrer que si M appartient à la droite  d’équation y =-2 alors M’ appartient aussi à .

3)      Démontrer que pour tout point M d’affixe z, .
Interpréter géométriquement cette égalité.

4)      Pour tout point M distinct de A, on appelle  un argument de z+2i.
a) Justifier que  est une mesure de l’angle .
b) Démontrer que  est un réel négatif ou nul.
c) En déduire un argument de  en fonction de .
d) Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM’) ?

5)      En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M’ associé au point M.

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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 10 points.

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction f définie sur  par : .

Partie A :

1)      Calculer, pour tout réel xf’(x) et  f’’(x).

2)      a) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a  f’’(x)>0.
b) En déduire que l’équation  f’(x) = 0 admet sur  une solution et une seule que l’on note .
c) Donner un encadrement de  à 10-1 près.

3)      a) Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de  f’(x).
b) Calculer la limite de f en  et sa limite en .
c) Dresser le tableau de variation de f sur .
d) Tracer, en se limitant à l’intervalle , la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  (unité graphique : 4 cm).

Partie B :

On note  la courbe représentative, dans le repère  introduit dans la partie A, de la fonction g définie par : .

1)      a )Exprimer la distance OM du point O au point M de  d’abscisse x en fonction de .
b) Traduire alors les résultats obtenus dans la partie A en une propriété concernant la variation de la distance OM quand M parcourt .

2)      Soit A le point de  d’abscisse .
a) Ecrire une équation de la tangente T à  en A.
b) Quelle relation peut-on écrire entre les coefficients directeurs des droites (OA) et T ?
    Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

3)      On note l’abscisse du point d’intersection de la droite T avec l’axe .
Calculer en fonction de  et en cm² l’aire A du domaine limité par la courbe , la tangente T et les droites d’équations x = et x =

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