BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC

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SESSION 2006

MATHÉMATIQUES

Série : S

Durée du l’épreuve : 4h

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.

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Tournez la page S.V.P.

EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 5 points

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note p_n la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n-1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1)      Calculer p₂,p₃, p₄.

2)      On considère les évènements suivants :
Bn : « on tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n-1 premiers tirages ».
a ) Calculer la probabilité de l’événement B_n.
b) Exprimer la probabilité de l’événement U_n en fonction de n.
c) En déduire l’expression de p_n en fonction de n et vérifier l’égalité : .

3)      On suppose S_n=p₂+p₃+…..+p_n.
a) Démonter par récurrence que pour tout n entier supérieur ou égal à 2, on a : .
b) Déterminer la limite de S_n.

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EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct  unité graphique : 2cm.

On appelle A le point d’affixe -2i.

A tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe : .

1)      On considère le point B d’affixe .
Déterminer la forme algébrique des affixes a’ et b’ des points A’ et B’ associés respectivement  aux points A et B. Placer ces points sur la figure.

2)      Montrer que si M appartient à la droite  d’équation y =-2 alors M’ appartient aussi à .

3)      Démontrer que pour tout point M d’affixe z, .
Interpréter géométriquement cette égalité.

4)      Pour tout point M distinct de A, on appelle  un argument de z+2i.
a) Justifier que  est une mesure de l’angle .
b) Démontrer que  est un réel négatif ou nul.
c) En déduire un argument de  en fonction de .
d) Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM’) ?

5)      En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M’ associé au point M.

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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 10 points.

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction f définie sur  par : .

Partie A :

1)      Calculer, pour tout réel x,  f’(x) et  f’’(x).

2)      a) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a  f’’(x)>0.
b) En déduire que l’équation  f’(x) = 0 admet sur  une solution et une seule que l’on note .
c) Donner un encadrement de  à 10^-1 près.

3)      a) Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de  f’(x).
b) Calculer la limite de f en  et sa limite en .
c) Dresser le tableau de variation de f sur .
d) Tracer, en se limitant à l’intervalle , la courbe représentative de f dans un repère orthonormal  (unité graphique : 4 cm).

Partie B :

On note  la courbe représentative, dans le repère  introduit dans la partie A, de la fonction g définie par : .

1)      a )Exprimer la distance OM du point O au point M de  d’abscisse x en fonction de .
b) Traduire alors les résultats obtenus dans la partie A en une propriété concernant la variation de la distance OM quand M parcourt .

2)      Soit A le point de  d’abscisse .
a) Ecrire une équation de la tangente T à  en A.
b) Quelle relation peut-on écrire entre les coefficients directeurs des droites (OA) et T ?
    Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

3)      On note l’abscisse du point d’intersection de la droite T avec l’axe .
Calculer en fonction de  et en cm² l’aire A du domaine limité par la courbe , la tangente T et les droites d’équations x = et x =

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