DEVOIR SURVEILLE Tle S
Série : S
L’utilisation d’une calculatrice n’est pas autorisée.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté
et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
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EXERCICE 1 (commun à tous les candidats) : 4 points
1)
Pour tout nombre complexe z, on considère .
a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties
réelle et imaginaire de .
En déduire que l’équation admet
deux nombres imaginaires purs comme solution.
b) Montrer qu’il existe deux nombres réels et
,
que l’on déterminera, tels que pour tout
nombre complexe z, .
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .
2)
Le plan complexe P
est rapporté à un repère orthonormal.
a) Placer les points A, B, C et D ayant respectivement
pour affixes : ,
,
et
.
b) Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B,
C et D.
c) Déterminer l’ensemble E
des points M du plan tels que : .
Tracer E sur la figure précédente.
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Problème
de résolution des exercices ? allez sur le Forum.
EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 6 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (unité
graphique 2 cm).
A tout nombre complexe distinct de 4, on associe le nombre .
On note A le point d’affixe 4 et on considère l’ensemble H des points M du plan, distinct de A et d’affixe z tels que Z soit réel.
On se propose de déterminer et de construire H par deux méthodes différentes.
1)
Méthode algébrique :
a) On pose et
avec
x, y, X et Y des nombres réels.
Exprimez X et Y en fonction de x et y.
b) Ecrire une équation cartésienne de H.
Reconnaître la nature de H
et caractériser cet ensemble.
c) Construire H.
2)
Méthode géométrique :
On considère le point B d’affixe .
a) Vérifier que est
réel si et seulement si le nombre
est
imaginaire pur.
b) Quelles sont les affixes des vecteurs et
?
c) En interprétant géométriquement la condition ci-dessus, établir que M
appartient à H si et seulement
si et
sont
orthogonaux.
En déduire la nature de H
et caractériser cet ensemble.
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EXERCICE 1 (commun à tous les candidats) : 4 points
1)
Pour tout nombre complexe z, on considère .
a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties
réelle et imaginaire de .
En déduire que l’équation admet
deux nombres imaginaires purs comme solution.
b) Montrer qu’il existe deux nombres réels et
,
que l’on déterminera, tels que pour tout nombre complexe z,
.
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .
2)
Le plan complexe P
est rapporté à un repère orthonormal.
a) Placer les points A, B, C et D ayant respectivement
pour affixes : ,
,
et
.
b) Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B,
C et D.
c) Déterminer l’ensemble E
des points M du plan tels que : .
Tracer E sur la figure précédente.
EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 6 points
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N = a2 - b2 où a et b sont deux entiers naturels.
1) Montrer que a et b n'ont pas la même parité.
2) Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
3) Quelle est la parité de p et de q?
On admet que 250507 n 'est pas premier .
On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a; b) vérifiant la relation
(E) : a2- 250507 = b2.
1)
Soit X un entier naturel.
a) Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9; puis ceux
de X2 modulo 9.
b) Sachant que a2 -250507 = b2, déterminer les restes
possibles modulo 9 de a2 -250507; en déduire les restes possibles
modulo 9 de a2.
c) Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.
2)
Justifier que si le couple (a; b) vérifie la relation (E),
alors .
Montrer qu'il n'existe pas de solution du type (501; b).
3)
On suppose que le couple (a; b) vérifie la relation (E).
a) Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 +
9k ; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
1) Déduire des parties précédentes une écriture de 250507 en un produit de deux facteurs.
2) Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux?
3) Cette écriture est-elle unique ?
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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 10 points.
Partie A :
Soient a,b et c des nombres réels.
On définit une fonction g sur par :
.
a) Calculer .
b) Le tableau de variation de g est le suivant :
En utilisant les données numériques de ce tableau, trouver a,b
et c.
Partie B :
Soit : .
1)
a) Montrer que l’équation admet
une solution unique dans l’intervalle
.
On note cette
solution.
b) Déterminer un encadrement au dixième de .
2)
Etudier le signe de pour
x appartenant à
.
Partie C :
Soit f la fonction définie sur par
.
1)
a) Déterminer la limite de f en .
b) Déterminer la limite de f en .
2)
a) Soit la
fonction dérivée de f. Montrer que
.
b) Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de f sur .
3)
Dans le plan muni d’un repère orthonormal on
appelle C la représentation graphique de f
et D la droite d’équation
.
a) Démontrer que D est asymptote
à C en .
b) Etudier la position de C
par rapport à D.
4) Tracer une ébauche de la courbe et son asymptote.
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Données numériques et formules :
x |
-0,4 |
-0,39 |
-0,38 |
-0,37 |
-0,36 |
-0,35 |
-0,34 |
-0,33 |
-0,32 |
-0,31 |
-0,3 |
h(x) |
-0,089 |
-0,053 |
-0,018 |
0,017 |
0,051 |
0,084 |
0,117 |
0,150 |
0,182 |
0,214 |
0,245 |
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