DEVOIR SURVEILLE T^le S

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MATHÉMATIQUES

Série : S

Durée du l’épreuve : 3h30

L’utilisation d’une calculatrice n’est pas autorisée.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.

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Tournez la page S.V.P.

EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 4 points

1)      Pour tout nombre complexe z, on considère .
a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de .
    En déduire que l’équation  admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
b) Montrer qu’il existe deux nombres réels  et , que l’on déterminera, tels que pour tout
     nombre complexe z, .
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .

2)      Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.
a) Placer les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : , ,  et .
b) Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C et D.
c) Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : .

Tracer E sur la figure précédente.

EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 6 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct   (unité graphique 2 cm).

A tout nombre complexe distinct de 4, on associe le nombre .

On note A le point d’affixe 4 et on considère l’ensemble H des points M du plan, distinct de A et d’affixe z tels que Z soit réel.

On se propose de déterminer et de construire H par deux méthodes différentes.

1)      Méthode algébrique :
a) On pose  et  avec x, y, X et Y des nombres réels.
Exprimez X et Y en fonction de x et y.
b) Ecrire une équation cartésienne de H. Reconnaître la nature de H et caractériser cet ensemble.
c) Construire H.

2)      Méthode géométrique :
On considère le point B d’affixe .
a) Vérifier que  est réel si et seulement si le nombre  est imaginaire pur.
b) Quelles sont les affixes des vecteurs  et  ?
c) En interprétant géométriquement la condition ci-dessus, établir que M appartient à H si et seulement si  et sont orthogonaux.
En déduire la nature de H et caractériser cet ensemble.

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EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 4 points

1)      Pour tout nombre complexe z, on considère .
a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de .
En déduire que l’équation  admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
b) Montrer qu’il existe deux nombres réels  et , que l’on déterminera, tels que pour tout nombre complexe z, .
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation .

2)      Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.
a) Placer les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : , ,  et .
b) Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C et D.
c) Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : .
Tracer E sur la figure précédente.

EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 6 points

Partie A

Soit N un entier naturel, impair non premier.

On suppose que N = a² - b² où a et b sont deux entiers naturels.

1)      Montrer que a et b n'ont pas la même parité.

2)      Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.

3)      Quelle est la parité de p et de q?

Partie B

On admet que 250507 n 'est pas premier .

On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a; b) vérifiant la relation

(E) : a²- 250507 = b².

1)      Soit X un entier naturel.
a) Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9; puis ceux de X² modulo 9.
b) Sachant que a² -250507 = b², déterminer les restes possibles modulo 9 de a² -250507; en déduire les restes possibles modulo 9 de a².
c) Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

2)      Justifier que si le couple (a; b) vérifie la relation (E), alors . Montrer qu'il n'existe pas de solution du type (501; b).

3)      On suppose que le couple (a; b) vérifie la relation (E).
a) Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 + 9k ; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C

1)      Déduire des parties précédentes une écriture de 250507 en un produit de deux facteurs.

2)      Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux?

3)      Cette écriture est-elle unique ?

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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 10 points.

Partie A :

Soient a,b et c des nombres réels.
On définit une fonction g sur  par : .
a) Calculer .
b) Le tableau de variation de g est le suivant :

En utilisant les données numériques de ce tableau, trouver a,b et c.

Partie B :

Soit : .

1)      a) Montrer que l’équation  admet une solution unique dans l’intervalle .
    On note  cette solution.
b) Déterminer un encadrement au dixième de .

2)      Etudier le signe de  pour x appartenant à .

Partie C :

Soit f la fonction définie sur  par .

1)      a) Déterminer la limite de f en .
b) Déterminer la limite de f en .

2)      a) Soit  la fonction dérivée de f. Montrer que .
b) Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de f sur .

3)      Dans le plan muni d’un repère orthonormal  on appelle C la représentation graphique de f et D la droite d’équation .
a) Démontrer que D est asymptote à C en .
b) Etudier la position de C par rapport à D.

4)      Tracer une ébauche de la courbe et son asymptote.

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Données numériques et formules :

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