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DEVOIR SURVEILLE N°4

Exercice n°1 : 5 points

1)      Déterminer la limite de chacune des suites suivantes :
a)   pour  .              b)
c) La suite arithmétique de raison –2 et de premier terme 5000.

2)      Donner dans chaque cas , la somme Sn des n premiers termes de la suite u.
a) u est géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 2.
b) u est arithmétique de raison –5 et de premier terme u1 = 100.

Exercice n°2 : 6 points

Soit v la suite vérifiant pour tout entier naturel n, vn+1 = vn2- vn + 1.

1)      Montrer que pour tout n, vn+1 -vn = (vn- 1)2.

2)      En déduire que v est croissante.

3)      Montrer que si v converge, sa limite L ne peut être que 1.

4)      En fait, v0 = 1,1. Expliquer pourquoi v ne peut converger.

5)      Observer sur la calculatrice les valeurs de vn: v semble-t-elle avoir une limite ?

Exercice n°3 : 9 points

Soit u la suite définie par u0 = 0 et  pour tout .

1)      Construire dans un repère orthonormé d'unité 4 cm la droite D d'équation y = x et la droite D' d'équation
y = 0,25 x + 1,5.

2)      Construire géométriquement sur le dessin précédent une représentation des cinq premiers termes de la suite.

3)      La suite semble-t-elle converger ? Si oui, vers quelle limite ?

4)      Montrer que la suite définie par pn = 2 -un pour , est géométrique.

5)      En déduire pn puis un en fonction de n.

6)      Prouver les conjectures du 3.

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