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DEVOIR SURVEILLE N°4

Exercice n°1 : 5 points

1)      Déterminer la limite de chacune des suites suivantes :
a)   pour  .              b)
c) La suite arithmétique de raison –2 et de premier terme 5000.

2)      Donner dans chaque cas , la somme S_n des n premiers termes de la suite u.
a) u est géométrique de raison 3 et de premier terme u₀ = 2.
b) u est arithmétique de raison –5 et de premier terme u₁ = 100.

Exercice n°2 : 6 points

Soit v la suite vérifiant pour tout entier naturel n, v_n+1 = v_n²- v_n + 1.

1)      Montrer que pour tout n, v_n+1 -v_n = (v_n- 1)².

2)      En déduire que v est croissante.

3)      Montrer que si v converge, sa limite L ne peut être que 1.

4)      En fait, v₀ = 1,1. Expliquer pourquoi v ne peut converger.

5)      Observer sur la calculatrice les valeurs de v_n: v semble-t-elle avoir une limite ?

Exercice n°3 : 9 points

Soit u la suite définie par u₀ = 0 et  pour tout .

1)      Construire dans un repère orthonormé d'unité 4 cm la droite D d'équation y = x et la droite D' d'équation
y = 0,25 x + 1,5.

2)      Construire géométriquement sur le dessin précédent une représentation des cinq premiers termes de la suite.

3)      La suite semble-t-elle converger ? Si oui, vers quelle limite ?

4)      Montrer que la suite définie par p_n = 2 -u_n pour , est géométrique.

5)      En déduire p_n puis u_n en fonction de n.

6)      Prouver les conjectures du 3.