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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC

SESSION 2005

MATHÉMATIQUES

Série : ES

Durée de l’épreuve : 3h

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.

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Tournez la page S.V.P.

EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 5 points

Une usine fabrique des moteurs électriques pour l'industrie spatiale. Ceux-ci doivent être très fiables et performants; pour cela ils passent des contrôles très sévères. Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le client; si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est définitivement écarté et détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85 % des moteurs neufs sortis directement des chaînes de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65% d'entre eux passent le second test avec succès.

Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées.

1)     On choisit un moteur au hasard dans la chaîne de fabrication.
a) Construire un arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce moteur. Faire apparaître sur chaque branche les probabilités correspondantes.
b) Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur.
c) Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client.
d) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit.
e) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client.

2)     La fabrication d'un moteur revient à 60000 €  auxquels il faut rajouter 10000 € si le moteur est révisé. Un moteur est facturé au client la somme de t € (t nombre réel positif).
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif) que réalise l'entreprise sur ce moteur.
a) Déterminer en fonction de t les trois valeurs que peut prendre X et déterminer la loi de probabilité de X. (On rappelle que le bénéfice est la différence entre le prix de vente et le prix de revient.)
b) Calculer en fonction de t l'espérance mathématique de X et en déduire la valeur de t à partir de laquelle l'entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à l’euro près).

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EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

Mme X décide d'ouvrir un plan d'épargne. Le taux mensuel de celui-ci est de 0,4 %, les intérêts sont capitalisés tous les mois. Elle verse 10000 € le 1er janvier 2000. Puis, tous les premiers de chaque mois à partir du 1er février 2000, elle verse 600 € sur ce plan.

Soit u_n la somme qui se trouve sur son plan après n mois d'ouverture. Ainsi u_o = 10000 et   u₁ = 10640.

1)     Calculer u₂ et u₃. Écrire une relation entre u_n+1 et u_n.

2)     On définit la suite (v_n) telle que pour tout n de , on ait v_n = u_n + 150000.
Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l'expression de v_n puis de u_n en fonction de n.

3)     Calculer le temps nécessaire pour économiser la somme de 100000 € sur ce plan.
En quelle année cela se produira-t-il ?

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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade. L'équipement doit se faire depuis le pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce genre de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis. On se propose d'étudier ceux-ci.

Devis de l'entreprise A:

Le premier mètre équipé coûte 100 €, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 20 € de plus que le mètre précédent (100 € pour équiper une falaise de un mètre, 100 € + 120 € = 220 € pour équiper une falaise de deux mètres, 100 € + 120 € + 140 € = 360 € pour une falaise de trois mètres, etc.).

Devis de l'entreprise B :

Le premier mètre équipé coûte 50 €, puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5 % de plus que le mètre précédent (50 € pour équiper une falaise de un mètre,
50 € + 52,50 € = 102,50 € pour équiper une falaise de deux mètres,
50 € + 52,50 € + 55, 125 € = 157 ,625 € pour une falaise de trois mètres, etc.).

On appelle U_n le prix du n-ième mètre équipé et S_n le prix de l'équipement d'une falaise de n mètres de hauteur indiqués par l'entreprise A.

On appelle V_n le prix du n-ième mètre équipé et R_n le prix de l'équipement d'une falaise de n mètres de hauteur indiqués par l'entreprise B.

1)     Exprimer U_n puis S_n en fonction de n.

2)     Exprimer V_n puis R_n en fonction de n.

3)     Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de 50 mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère. On arrondira les prix à l’euro près.

4)     Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de 120000 € pour équiper ce site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B (arrondir au mètre près).

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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 10 points.

Partie A

On considère la fonction f définie sur  par : .

On notera C_f la courbe représentative de f dans uns repère  orthonormal.

On prendra pour unité graphique 1 cm sur chaque axe.

1)     Calculer la limite de f en .

2)     Montrer l’existence d’une droite D   asymptote à la courbe C_f.
Donner une équation de D.

3)     Etudier les variations de la fonction f sur .

4)     a) Tracer la droite D   et la courbe C_f   dans le repère défini plus haut.
b) En utilisant le graphique, indiquer le nombre de solutions de l’équation E : .
     Donner une valeur approchée de ces solutions avec la précision permise par le graphique.

5)     Justifier que sur l’intervalle , l’équation E admet une solution unique  dont on donnera un encadrement d’amplitude 10^-2.

6)     Trouver la primitive F de f telle que .

Partie B

Une entreprise industrielle produit chaque jour x centaines d’objets .

Le coût de fabrication de x centaines d’objets est donné par  exprimé en milliers d’euros.

1)     Calculer le coût de 600 objets, 1000 objets, 1200 objets arrondi à l’euro.
Quel est dans chacun de ces cas, le coût arrondi à l’euro de fabrication d’un objet.

2)     Quelle quantité d’objets doit-on fabriquer pour que le coût de fabrication soit le plus proche possible de 8000 € ?

3)     Monter que le coût de production est minimal lorsque l’entreprise fabrique une quantité q₀ d’objets. Donner la valeur de q₀.

4)     Quel est alors le coût, en euros, de la fabrication d’un objet ?

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