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Correction DEVOIR SURVEILLE N°2
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Exercice n°1 :

1)      Pour calculer BC, on applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B. Donc : BC=3.
Pour FD, on applique le théorème de Thales avec les points A, B , D et A, C, F et les droites parallèles (BC) et (DF). On trouve : DF = 24/5.

2)      On utilise le cosinus de l’angle AFE dans le triangle AFE rectangle en E. On obtient : .
Et donc : .

Remarque : les valeurs arrondies ne sont pas demandées. Elles sont donc inutiles.

Exercice n°2 :  

1)      Démontrons que les points C, E et I sont alignés.

·        Dans le triangle AMC,  passe par N milieu de [AC] et est parallèle à (AM). Donc d’après le théorème des milieux,  coupe [MC] en son milieu.

·        Par conséquent, par définition d’une médiane,  est la médiane issue de N dans le triangle MNC.

·        De même, ’ est la médiane issue de M dans ce même triangle.

·        Or  et ’ se coupent en E. Donc, par définition du centre de gravité, E est le centre de gravité du triangle MNC.

·        De plus I est le milieu de [MN] donc (CI) est la troisième médiane du triangle MNC. Elle passe donc par E. C’est à dire que C, I et E sont alignés.

2)      Démontrons que E, I et G sont alignés.

·       

·        Comme GNEM est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Or I étant le milieu de [MN], on en conclut que I est aussi le milieu de [GE]. Donc G, E et I sont alignés.

3)      En conclusion, C, E, et I sont alignés et G, E et I aussi. Donc E, I, C et G sont alignés.
Or P est le milieu de [AB] donc (PC) est une médiane du triangle ABC. Elle passe dont par G, centre de gravité de ABC. Par conséquent, P est sur (GC). Donc E, I, C, G et P sont alignés.

4)      La démonstration de PG=GE=EC est très simple en pensant que le centre de gravité est situé aux 2/3 de la médiane en partant du sommet.

Exercice n°3 :  

1)      a)     et     .
b) =     et     =.
c)   donc les solutions sont tous les nombres réels de l’intervalle : .

2)      Avec la calculatrice, on trouve :  à 10^-1 près.

3)     

4)      On trouve : m.s^-1.

5)          et    .

6)      a) .
b)