DEVOIR SURVEILLE N°7
Durée 2h
Exercice n°1 : 12 points
Omar Khayyâm, savant et poète persan du XIe siècle, a rédigé un traité d'algèbre où il propose une méthode géométrique de résolution d'une équation du 3e degré utilisant les intersections de courbes qu'il savait construire.
Pour illustrer cette méthode, en la simplifiant, on considère l'équation :
(1)
Soit f la fonction définie sur 
par
et
g la fonction définie sur 
\{3}
par: 
.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée).
1)
Prouver que, pour 
,
l’équation (1) équivaut à l'équation : f(x) = g(x). (2)
2) Tracer P, la courbe représentative de f (on se limitera à l'intervalle [- 4; 4]).
3)
a) Etudier les variations de g
sur son domaine de définition. On appellera H sa courbe représentative.
b) Etudier les limites de g aux bornes de son domaine de définition.
(On justifiera rigoureusement).
En déduire les asymptotes à H.
c) Dresser le tableau de variations de g et tracer H (on se limitera à l'intervalle [-4; 4] pour le tracé).
4)
Interpréter géométriquement l'équation
(2). Par lecture graphique, en déduire le nombre de solutions de l'équation
(1) et indiquer une valeur approchée, à 0,1 près, de la solution a
de (1) appartenant à 
.
5)
On se propose d'étudier la solution
a de façon plus précise. À cet effet, on considère la fonction h définie
sur [0; 2] par : h(x) = (x -3) [f(x) -g(x)].
a) Calculer la dérivée h' de h.
b) Calculer h(1,33) et h(1,34).
c) Montrer que: 1,33 < a< 1,34.
Exercice n°2 : 5 points
1)
Résoudre sur 
l’inéquation :
.
2)
Résoudre dans 
l’équation :
.
3)
On donne 
.
Trouver 
et
la valeur arrondie au millième de x sachant que 
.
Exercice n°3 : 3 points
Soit un segment [AB] tel que AB= 6cm. On appelle I le milieu de [AB].
1)
Déterminer et construire l’ensemble
des points M du plan tel que 
.
2)
a) Démontrer que pour tout point
M du plan on a : 
.
b) En déduire l’ensemble des points M du plan vérifiant : 
,
le construire.
Correction DEVOIR SURVEILLE N°7 Correction
Exercice n°1 : 12 points
Soit f la fonction définie sur 
par
et
g la fonction définie sur 
\{3}
par: 
.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2 cm en abscisse, 1 cm en ordonnée).
1)
pour
.
2)
tracé
3)
a) g est de la forme 
avec
et
Donc : 
.
Par conséquent, 
est
négative. C’est à dire g est décroissante sur 
\{3}.
b) En 
.
Or 
.
Donc par limite d’une somme : 
et
.
On en conclut par limite d’un quotient : 
.
De même en 
.
H admet donc
une asymptote horizontale en 
d’équation
y = 9.
En –3 par valeurs inférieures : 
(car
si x<3 alors x-3<0) et le numérateur est égal à 12.
Donc par limite d’un quotient, 
.
De même à droite en 3 : 
.
H admet donc une asymptote
verticale d’équation x = 3.
c) tableau de variations de g ….très difficile !!
+ tracé
4)
Résoudre (2) c’est trouver
les abscisses des points d’intersection de H et P.
Graphiquement (2) admet deux solutions. Comme (1)
(2), donc (2) admet deux solutions.
La solution a de (1) appartenant à 
vérifie :
à
10-1 près.
5)
a) h(x) = (x -3) [f(x) -g(x)].
.
donc 3 et –1 sont les racines . h’(x)
est donc positive sur [-1 ;3] h y est donc croissante.
b) Calculer h(1,33)<0 et h(1,34)>0.
c) Comme h(1,33)<0=h(a)<h(1,34), et comme
h est croissante sur [0 ;2] alors elle conserve l’ordre sur [0 ;2]
et donc : 1,33 < a< 1,34.
Correction DEVOIR SURVEILLE N°7 Correction
Exercice
n°2 : 5 points
1)
Résoudre sur 
l’inéquation :
.
En utilisant le cercle trigonométrique, on trouve : 
2)
Résoudre dans 
l’équation :
.
Donc : comme 
,
.
3)
On donne 
.
Donc
ou
mais
comme 
,
alors le sinus est négatif. Par conséquent : 
.
La calculatrice donne : 
-1,159
rad
.
Donc 
.
Donc 
rad
arrondi à 10-3 près.
Exercice n°3 : 3 points
Soit un segment [AB] tel que AB= 6cm.
1)
Soit H le projeté orthogonal
de M sur (AB).
.
Donc l’ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB)
passant par H.
2)
a) 
.
b) 
et comme MI est une distance, alors : 
.
On en conclut que l’ensemble des points M du plan tel que
est le cercle de centre I et de rayon 
.
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