Conform�ment aux conventions internationales
relatives � la propri�t� intellectuelle, cette oeuvre est prot�g�e.
BACCALAUR�AT
G�N�RAL BLANC
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SESSION 2004
S�rie : S
L�utilisation d�une calculatrice autoris�e.
Ce sujet comporte 4 pages num�rot�es de 1 � 4.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le probl�me.
La qualit� de la r�daction, la clart�
et la pr�cision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l�appr�ciation des copies.
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Tournez la page S.V.P.
EXERCICE 1 (commun � tous les candidats) : 4 points
����������� On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches et des boules rouges indiscernables au toucher. L��preuve consiste � choisir une urne parmi les urnes a et b propos�es (le choix de l�urne est effectu� au hasard, les deux choix sont �quiprobables), puis � effectuer le tirage d�une boule dans l�urne choisie.
����������� On note A l��v�nement � l�urne a est choisie �, B l��v�nement � l�urne b est choisie � et R l��v�nement � une boule rouge est obtenue au tirage �.
����������� On note pA(R) la probabilit� conditionnelle de l��v�nement R par rapport � l��v�nement A.
1. Dans cette question, l�urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches, l�urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.
a) D�terminer les probabilit�s suivantes : p(A), pA(R),� p(AR).
b) �Montrer que p(R) =.
c) Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilit� que l�urne choisie soit l�urne a ?
�����������
2. Dans cette question, on suppose que l�urne a contient quatre boules blanches et l�urne b deux boules blanches. L�urne a contient en outre n boules rouges (o� n d�signe un entier naturel inf�rieur ou �gal � 5), l�urne b en contient (5 - n).
a) Exprimer pA(R) et pB(R) en fonction de n .
b) �D�montrer : p(R) = .
c) On sait que n ne prend que six valeurs enti�res.
���� D�terminer la r�partition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de p(R).
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EXERCICE 2 (candidats n�ayant pas suivi l�enseignement de sp�cialit�) : 5 points
����������� Le plan est muni d�un rep�re orthonormal direct . On prendra 2 cm pour unit� graphique.
����������� On consid�re l�application F du plan dans lui-m�me qui, � tout point M d�affixe z, associe le point M� d�affixe z� tel que :
����������������������������������
1. Soit A le point d�affixe .
���� D�terminer les affixes des points A� et B v�rifiant respectivement :
A�=F(A) et F(B) = A
2. M�thode de construction de l�image de M.
a) Montrer qu�il existe un point confondu avec son image. On notera �ce point et �son affixe.
b) �Etablir que, pour tout complexe z distinct de ,
���� Soit M un point distinct de . Comparer MM� et M et d�terminer une mesure de l�angle ( , ). En d�duire une m�thode de construction de M� � partir de M.
3. Etude de l�image d�un ensemble de points.
a) Donner la nature et les �l�ments caract�ristiques de l�ensemble () des points du plan dont l�affixe z v�rifie .
V�rifier que B est un point de ().
b) �D�montrer que pour tout� z �l�ment de ,
����������� .
���� D�montrer que l�image par F de tout point de ()
appartient au cercle (�)
de centre A� et de rayon 2.
����� Placer , A, B, A�, () et (�) sur une m�me figure.
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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l�enseignement de sp�cialit�) : 5 points
1. On consid�re l��quation (E) : �o� x et y sont des entiers relatifs.
a) D�terminer un couple d�entiers relatifs �tel que ; en d�duire une solution particuli�re �de l��quation (E).
b) �D�terminer les couples d�entiers relatifs solutions de l��quation (E).
2. Soit �un rep�re orthonormal de l�espace.
On consid�re le plan P d��quation :
����������� ����� On consid�re les points du plan P qui appartiennent aussi au plan .
Montrer qu�un seul de ces points a pour coordonn�es des entiers naturels ;����������������� d�terminer les coordonn�es de ce point.
3. On consid�re un point M du plan P dont les coordonn�es x, y et z sont des entiers naturels.
a) Montrer que l�entier y est impair.
b) On pose �o� p est un entier naturel.
Montrer que le reste dans la division euclidienne de par 3 est �gal � 1.
c) On pose �o� q est un entier naturel.
Montrer que les entiers naturels x, p et q v�rifient la relation : .
En d�duire que q prend les valeurs 0 ou 1.
d) En d�duire les coordonn�es de tous les points de P dont les coordonn�es sont� des entiers naturels.
�����������
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PROBLEME (Commun � tous les candidats) : 11 points.
Partie A
����������� L�objet de cette partie est l��tude de la fonction� f� d�finie sur lR par .
����������� On note (C) la courbe repr�sentative de f dans un rep�re orthonorm� ����(unit� graphique : 3 cm).
1. On consid�re la fonction g d�finie sur [0 ; +[ par : .
a) D�terminer la d�riv�e g� de la fonction g.
b) �Donner le sens de variation de g, puis le signe de g.
2. Soit f� la d�riv�e de f .
a) Montrer que, pour tout r�el x, .
b) �En utilisant le 1. �tudier le sens de variation de f.
3. a) Montrer que, pour tout r�el x, .
��� En d�duire la limite de f(x) lorsque x tend vers +.
���� b) D�terminer la limite de f(x) lorsque x tend vers -.
4. Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).
Partie B
����������� L�objet de cette deuxi�me partie est l��tude d�une suite d�finie � partir de f.
����������� Les calculs seront effectu�s � la calculatrice.
1. D�montrer que l��quation� f(x) = x �admet une seule solution not�e .
Montrer que .
2. D�montrer que, pour tout r�el x tel que �on a :� �et .
3. On consid�re la suite ��d�finie par :
a) En admettant que, pour tout entier naturel n, , d�montrer par r�currence :
En d�duire que la suite �converge vers .
b) �D�terminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout entier n sup�rieur � n0 ,
.
Partie C
����������� L�objet de cette partie est l��tude d�une primitive de f .
1. Montrer que, pour tout r�el x ,
2. En utilisant la question pr�c�dente calculer une primitive F de f.
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