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BACCALAUR�AT G�N�RAL BLANC
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SESSION 2004

MATH�MATIQUES

S�rie : S

Dur�e du l��preuve : 4h

L�utilisation d�une calculatrice autoris�e.

Ce sujet comporte 4 pages num�rot�es de 1 � 4.


Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le probl�me.

La qualit� de la r�daction, la clart� et la pr�cision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l�appr�ciation des copies.

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Tournez la page S.V.P.


EXERCICE 1  (commun � tous les candidats) : 4 points

����������� On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches et des boules rouges indiscernables au toucher. L��preuve consiste � choisir une urne parmi les urnes a et b propos�es (le choix de l�urne est effectu� au hasard, les deux choix sont �quiprobables), puis � effectuer le tirage d�une boule dans l�urne choisie.

����������� On note A l��v�nement �  l�urne a est choisie �, B l��v�nement � l�urne b est choisie � et R l��v�nement � une boule rouge est obtenue au tirage �.

����������� On note pA(R) la probabilit� conditionnelle de l��v�nement R par rapport � l��v�nement A.

1.   Dans cette question, l�urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches, l�urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

a)   D�terminer les probabilit�s suivantes : p(A), pA(R),� p(AR).

b) �Montrer que p(R) =.

c)   Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilit� que l�urne choisie soit l�urne a ?

�����������

2.   Dans cette question, on suppose que l�urne a contient quatre boules blanches et l�urne b deux boules blanches. L�urne a contient en outre n boules rouges (o� n d�signe un entier naturel inf�rieur ou �gal � 5), l�urne b en contient (5 - n).

a)   Exprimer pA(R) et pB(R) en fonction de n .

b) �D�montrer : p(R) = .

c)   On sait que n ne prend que six valeurs enti�res.

���� D�terminer la r�partition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de p(R).

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EXERCICE 2 (candidats n�ayant pas suivi l�enseignement de sp�cialit�) : 5 points

����������� Le plan est muni d�un rep�re orthonormal direct . On prendra 2 cm pour unit� graphique.

����������� On consid�re l�application F du plan dans lui-m�me qui, � tout point M d�affixe z, associe le point M� d�affixe z� tel que :

����������������������������������

1.   Soit A le point d�affixe .

���� D�terminer les affixes des points A� et B v�rifiant respectivement :

A�=F(A) et F(B) =

2.   M�thode de construction de l�image de M.

a)   Montrer qu�il existe un point confondu avec son image. On notera �ce point et �son affixe.

b) �Etablir que, pour tout complexe z distinct de ,

���� Soit M un point distinct de . Comparer MM� et M et d�terminer une mesure de l�angle ( , ). En d�duire une m�thode de construction de M� � partir de M.

3.   Etude de l�image d�un ensemble de points.

a)   Donner la nature et les �l�ments caract�ristiques de l�ensemble () des points du plan dont l�affixe z v�rifie .

V�rifier que B est un point de ().

b) �D�montrer que pour tout� z �l�ment de ,

����������� .
���� D�montrer que l�image par F de tout point de () appartient au cercle (�) de centre A� et de rayon 2.

����� Placer , A, B, A�, () et (�) sur une m�me figure.

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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l�enseignement de sp�cialit�) : 5 points

1.      On consid�re l��quation (E) : �o� x et y sont des entiers relatifs.

a) D�terminer un couple d�entiers relatifs �tel que  ; en d�duire une solution particuli�re �de l��quation (E).

b) �D�terminer les couples d�entiers relatifs solutions de l��quation (E).

2.      Soit �un rep�re orthonormal de l�espace.

On consid�re le plan P d��quation :

����������� ����� On consid�re les points du plan P qui appartiennent aussi au plan .

Montrer qu�un seul de ces points a pour coordonn�es des entiers naturels ;����������������� d�terminer les coordonn�es de ce point.

3.      On consid�re un point M du plan P dont les coordonn�es x, y et z sont des entiers naturels.

a)      Montrer que l�entier y est impair.

b)      On pose �o� p est un entier naturel.

Montrer que le reste dans la division euclidienne de par 3 est �gal � 1.

c)      On pose �o� q est un entier naturel.

Montrer que les entiers naturels x, p et q v�rifient la relation : .

En d�duire que q prend les valeurs 0 ou 1.

d)      En d�duire les coordonn�es de tous les points de P dont les coordonn�es sont� des entiers naturels.

�����������

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PROBLEME (Commun � tous les candidats) : 11 points.

Partie A

����������� L�objet de cette partie est l��tude de la fonction� f� d�finie sur lR par .

����������� On note (C) la courbe repr�sentative de f dans un rep�re orthonorm� ����(unit� graphique : 3 cm).

1.   On consid�re la fonction g d�finie sur [0 ; +[ par : .

a)   D�terminer la d�riv�e g� de la fonction g.

b) �Donner le sens de variation de g, puis le signe de g.

2.   Soit f� la d�riv�e de f .

a)   Montrer que, pour tout r�el x, .

b) �En utilisant le 1. �tudier le sens de variation de f.

3.   a) Montrer que, pour tout r�el x, .

��� En d�duire la limite de f(x) lorsque x tend vers +.

���� b) D�terminer la limite de f(x) lorsque x tend vers -.

4.   Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).

Partie B

����������� L�objet de cette deuxi�me partie est l��tude d�une suite d�finie � partir de f.

����������� Les calculs seront effectu�s � la calculatrice.

1.   D�montrer que l��quation� f(x) = x �admet une seule solution not�e .

Montrer que .

2.   D�montrer que, pour tout r�el x tel que �on a :� �et .

3.   On consid�re la suite ��d�finie par :

a)   En admettant que, pour tout entier naturel n, , d�montrer par r�currence :

En d�duire que la suite �converge vers .

b) �D�terminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout entier n sup�rieur � n0 ,

.

Partie C

����������� L�objet de cette partie est l��tude d�une primitive de f .

1.   Montrer que, pour tout r�el x ,

2.   En utilisant la question pr�c�dente calculer une primitive F de f.

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