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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BLANC
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SESSION 2004

MATHÉMATIQUES

Série : S

Durée du l’épreuve : 4h

L’utilisation d’une calculatrice autorisée.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.


Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.

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Tournez la page S.V.P.


EXERCICE 1  (commun à tous les candidats) : 4 points

            On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches et des boules rouges indiscernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deux choix sont équiprobables), puis à effectuer le tirage d’une boule dans l’urne choisie.

            On note A l’événement «  l’urne a est choisie », B l’événement « l’urne b est choisie » et R l’événement « une boule rouge est obtenue au tirage ».

            On note pA(R) la probabilité conditionnelle de l’événement R par rapport à l’événement A.

1.   Dans cette question, l’urne a contient une boule rouge et quatre boules blanches, l’urne b contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

a)   Déterminer les probabilités suivantes : p(A), pA(R),  p(AR).

b)  Montrer que p(R) =.

c)   Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne a ?

           

2.   Dans cette question, on suppose que l’urne a contient quatre boules blanches et l’urne b deux boules blanches. L’urne a contient en outre n boules rouges (où n désigne un entier naturel inférieur ou égal à 5), l’urne b en contient (5 - n).

a)   Exprimer pA(R) et pB(R) en fonction de n .

b)  Démontrer : p(R) = .

c)   On sait que n ne prend que six valeurs entières.

     Déterminer la répartition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grande valeur possible de p(R).

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EXERCICE 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

            Le plan est muni d’un repère orthonormal direct . On prendra 2 cm pour unité graphique.

            On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

                                  

1.   Soit A le point d’affixe .

     Déterminer les affixes des points A’ et B vérifiant respectivement :

A’=F(A) et F(B) =

2.   Méthode de construction de l’image de M.

a)   Montrer qu’il existe un point confondu avec son image. On notera  ce point et  son affixe.

b)  Etablir que, pour tout complexe z distinct de ,

     Soit M un point distinct de . Comparer MM’ et M et déterminer une mesure de l’angle ( , ). En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M.

3.   Etude de l’image d’un ensemble de points.

a)   Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble () des points du plan dont l’affixe z vérifie .

Vérifier que B est un point de ().

b)  Démontrer que pour tout  z élément de ,

            .
     Démontrer que l’image par F de tout point de () appartient au cercle (’) de centre A’ et de rayon 2.

      Placer , A, B, A’, () et (’) sur une même figure.

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EXERCICE 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points

1.      On considère l’équation (E) :  où x et y sont des entiers relatifs.

a) Déterminer un couple d’entiers relatifs  tel que  ; en déduire une solution particulière  de l’équation (E).

b)  Déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

2.      Soit  un repère orthonormal de l’espace.

On considère le plan P d’équation :

                  On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan .

Montrer qu’un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ;                  déterminer les coordonnées de ce point.

3.      On considère un point M du plan P dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

a)      Montrer que l’entier y est impair.

b)      On pose  où p est un entier naturel.

Montrer que le reste dans la division euclidienne de par 3 est égal à 1.

c)      On pose  où q est un entier naturel.

Montrer que les entiers naturels x, p et q vérifient la relation : .

En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1.

d)      En déduire les coordonnées de tous les points de P dont les coordonnées sont  des entiers naturels.

           

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PROBLEME (Commun à tous les candidats) : 11 points.

Partie A

            L’objet de cette partie est l’étude de la fonction  f  définie sur lR par .

            On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé     (unité graphique : 3 cm).

1.   On considère la fonction g définie sur [0 ; +[ par : .

a)   Déterminer la dérivée g’ de la fonction g.

b)  Donner le sens de variation de g, puis le signe de g.

2.   Soit f’ la dérivée de f .

a)   Montrer que, pour tout réel x, .

b)  En utilisant le 1. étudier le sens de variation de f.

3.   a) Montrer que, pour tout réel x, .

    En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +.

     b) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers -.

4.   Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).

Partie B

            L’objet de cette deuxième partie est l’étude d’une suite définie à partir de f.

            Les calculs seront effectués à la calculatrice.

1.   Démontrer que l’équation  f(x) = x  admet une seule solution notée .

Montrer que .

2.   Démontrer que, pour tout réel x tel que  on a :   et .

3.   On considère la suite   définie par :

a)   En admettant que, pour tout entier naturel n, , démontrer par récurrence :

En déduire que la suite  converge vers .

b)  Déterminer le plus petit entier n0 tel que, pour tout entier n supérieur à n0 ,

.

Partie C

            L’objet de cette partie est l’étude d’une primitive de f .

1.   Montrer que, pour tout réel x ,

2.   En utilisant la question précédente calculer une primitive F de f.

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