BAC BLANC Février 2003

SPECIALITE

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MATHÉMATIQUES

Série ES

DURÉE DE L'EPREUVE: 3 heures           COEFFICIENT : 7

Matériel autorisé:   Calculatrice graphique programmable.
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.

L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Les candidats doivent traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction et des graphiques, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1/5  à 5/5, la page 5 sera rendue avec la copie.

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EXERCICE 1 :  (4 points)

Le tableau ci-dessous représente la dette extérieure en pourcentage du PIB pour la

Belgique (PIB : Produit Intérieur Brut).

Sources : CEE Eurostat Monnaies et Finances 1987

1.      Représenter le nuage de points associés à cette série statistique en choisissant des unités graphiques adaptées.

2.      On veut déterminer la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Caractériser cette droite par une équation de la forme y=mx+p où m est l’arrondi à 10 ^{– 4} près et p  l’arrondi à 10 ^–1 près des valeurs lues sur la calculatrice.

3.      a. Utiliser la question précédente pour prévoir la dette extérieure de la Belgique, en pourcentage, du PIB en 1986.

b. La valeur réelle atteinte en 1986 est égale à 20,6. A quelle erreur, en pourcentage de la valeur réelle, l’estimation conduit-elle ?

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EXERCICE 2 :  (5 points)

On considère la figure donnée en page 5.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal .

ABCDEFGH  est un pavé défini par .

I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FB] et [AD].

1.  Placer les points I, J et K sur la figure donnée ci-après. Donner les coordonnées des points     A, B, D, E et F. Puis vérifier par le calcul que I, J et K ont pour coordonnées respectives  (1; 0; 4),  (2 ; 0; 2) et (0; 3 ; 0).

2.   Soit  le plan d'équation y = 0  et  le plan d'équation  2x + z = 6.

a. Donner un vecteur  normal au plan  et un vecteur normal au plan .

b. En déduire que les plans  et  sont sécants.

c. Soit d l'intersection des deux plans  et . Montrer que d est la droite (IJ).

3.  Soit .

a. Montrer que  est un vecteur orthogonal aux vecteurs  et .

b. En déduire que  est un vecteur normal au plan (IJK).

c. Montrer alors que le plan (IJK) a pour équation  2x + 2y + z = 6.

4.   On considère le plan P d'équation  5x + y = 5.

a. Déterminer les coordonnées des points R et T, intersections du plan P avec les axes (Ax)
    et (Ay) respectivement.

b. Vérifier que le point I appartient au plan P.

c. Sur la figure, placer les points R et T, puis dessiner la trace du plan P sur le plan (xAy).

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PROBLEME : (11 points)

            On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.

On considère la fonction f définie sur ]1 ; +[ par .

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal , on désigne par C  la courbe représentative de _f.

1.      Etudier les limites de f  en 1 et en +.

2.      Montrer que pour tout réel _x de ]1 ; +[, on a : , et en déduire le sens de variation de _f sur cet intervalle.

3.      a.  Montrer que le droite D   d’équation  y=-x+4 est asymptote à la courbe C en +.

b. Montrer que, pour tout _x de ]1 ; +[,  et en déduire la position de C par rapport à la droite D.

4.      Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à  et donner une équation de cette tangente .

5.      Montrer que, sur l’intervalle [4 ; 5], l’équation  admet une unique solution . Donner une valeur approchée de  au centième près.

6.      Construire la courbe C et les droites D et sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unité graphique 2 cm sur chaque axe).

7.      a.  Soit _h la fonction définie sur ]1 ; +[ par .

        Montrer que la fonction H définie sur ]1 ; +[, par : H  est une primitive de _h sur cet intervalle.

2. En déduire l’aire en cm² du domaine du plan délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations  et  (on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

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