BAC BLANC Février 2003

OBLIGATOIRE

MATHÉMATIQUES

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Série ES

DURÉE DE L'EPREUVE: 3 heures           COEFFICIENT : 5

Matériel autorisé:   Calculatrice graphique programmable.
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.

L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Les candidats doivent traiter les DEUX exercices et le problème.

La qualité de la rédaction et des graphiques, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4.

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EXERCICE 1 :  (4 points)

Le tableau ci-dessous représente la dette extérieure en pourcentage du PIB pour la

Belgique (PIB : Produit Intérieur Brut)

Sources : CEE Eurostat Monnaies et Finances 1987

1.      Représenter le nuage de points associés à cette série statistique en choisissant des unités graphiques adaptées.

2.      On veut déterminer la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Caractériser cette droite par une équation de la forme y=mx+p où m est l’arrondi à 10 ^{– 4} près et p  l’arrondi à 10 ^–1 près des valeurs lues sur la calculatrice.

3.      a. Utiliser la question précédente pour prévoir la dette extérieure de la Belgique, en pourcentage, du PIB en 1986.

b. La valeur réelle atteinte en 1986 est égale à 20,6. A quelle erreur, en pourcentage de la valeur réelle, l’estimation conduit-elle ?

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EXERCICE  2 : (5 points)

            Claude range ses crayons de couleur et il en trouve un orange, trois jaunes et quatre bleus. Il prend au hasard successivement trois crayons dont il note les couleurs : o pour orange,  j pour jaune et b pour bleu.

1.      Tracer un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.

Les réponses aux questions suivantes seront exprimées sous forme d’une fraction irréductible.

2.      Quelle est la probabilité de l’événement : “ les trois crayons ont la même couleur “ ?

3.      Quelle est la probabilité de l’événement : “ les trois crayons sont pris parmi les crayons de couleur orange ou jaune” ?

4.      Quelle est la probabilité de l’événement : “parmi les trois crayons, un au moins est bleu” ?

5.      Claude veut dessiner un drapeau bleu et jaune. Quelle est la probabilité qu’il puisse le faire, sachant que le premier crayon est bleu ?

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PROBLEME : (11 points)

            On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.

On considère la fonction f définie sur ]1 ; +[ par .

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal , on désigne par C  la courbe représentative de f.

1.      Etudier les limites de f en 1 et en +.

2.      Montrer que pour tout réel x de ]1 ; +[, on a : , et en déduire le sens de variation de f sur cet intervalle.

3.      a.  Montrer que le droite D   d’équation  y=-x+4 est asymptote à la courbe C en +.

b. Montrer que, pour tout x de ]1 ; +[,  et en déduire la position de C par rapport à la droite D.

4.      Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à  et donner une équation de cette tangente .

5.      Montrer que, sur l’intervalle [4 ; 5], l’équation  admet une unique solution . Donner une valeur approchée de  au centième près.

6.      Construire la courbe C et les droites D et sur une feuille de papier millimétré (on prendra comme unité graphique 2 cm sur chaque axe).

7.      a.  Soit h la fonction définie sur ]1 ; +[ par .

        Montrer que la fonction H définie sur ]1 ; +[, par : H  est une primitive de h sur cet intervalle.

b.      En déduire l’aire en cm² du domaine du plan délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations  et  (on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

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