BAC BLANC (obligatoire) Avril 2003

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EXERCICE 1 :  ( 4 points )

            Cet exercice comporte deux questions indépendantes l’une de l’autre.

1.   Un libraire vend des livres scientifiques, des livres de littérature et divers autres livres dans les proportions suivantes :

·      livres scientifiques : 20 % des ventes.

·      livres de littérature : 38 % des ventes.

·      divers autres livres : 42 % des ventes.

                        Dans chacune de ces trois catégories, il y a des livres scolaires et des livres non scolaires. Pour chaque livre vendu le libraire remplit une fiche de renseignements.

                        Il a constaté que :

·      80 % des livres scientifiques sont des livres scolaires.

·      70 % des livres de littérature ne sont pas scolaires.

·      50 % des divers autres livres ne sont pas scolaires.

                         Le libraire prend une fiche au hasard dans son fichier.

             Quelle est la probabilité pour qu’elle corresponde :

a.   à un livre scientifique et scolaire ?

b.   à un livre non scolaire ?

2.   Au cours de la semaine promotionnelle , pour tout achat, dans cette libraire, d’un ou plusieurs livres, une enveloppe cachetée contenant un seul billet est remise à chaque client. Si elle contient :

·      un billet vert, le client gagne 100 F.

·      un billet jaune, le client gagne 20 F.

·      un billet blanc, le client ne gagne rien.

                        Pendant cette semaine, 1000 personnes ont reçu une enveloppe et toutes les enveloppes ont été distribuées.

                        Dans ces 1000 enveloppes, il y a 10 billets verts, 30 billets jaunes et les autres sont blancs.

                        Soit X la variable aléatoire correspondant en francs au montant du gain .

a.   Déterminer la loi de probabilité de X.

b.   Déterminer l’espérance mathématique de X.

 

EXERCICE 2 : ( 5 points )

             La courbe ci-contre est la représentation graphique

dans un repère  d’une fonction    définie et

dérivable sur ] 0 ; + [.

            La droite T est sa tangente au point d’abscisse 1.

1.      Par lecture graphique :

a.      Donner les valeurs de , de .

b.      Dresser le tableau de signes de sur l’intervalle ] 0 ; 3].

2. On admet que est la fonction définie sur ] 0 ; + [ par      où  et  sont des nombres réels.

a.      Soit   la fonction dérivée de . Exprimer en fonction de  et .

b.      Déterminer les valeurs de  et  en utilisant la question 1.a.

3.   L’une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une primitive de la fonction .

                        Indiquer le numéro de cette courbe en précisant les raisons de votre choix.

            4. On considère les fonctions G et H définies sur ] 0 ; + [ par G() =

et H() = .

                        L’une d’entre elles est la primitive de  sur ] 0 ; + [ de la question 3. Laquelle ? Justifier.

 

PROBLEME  : (11 points)

Question préliminaire

            Vérifier que le nombre    = - 1 + ln 125    est solution de l’équation (E) :

                        e + 1 - 10 4 e - ( + 1) - 45 = 0

            En donner la valeur décimale approchée à 10-2 près par excès.

            On admettra que  est la seule solution de (E).

Offre et demande

            D’après une étude de marché, l’offre et la demande  d’un produit de prix unitaire  sont telles que :

                         = 100 (e + 1 - 45)

                        = 10 6 e - ( + 1)

1.   Déterminer les valeurs de  pour lesquelles  et    sont positives ou nulles. On désignera par I l’intervalle trouvé ; cet intervalle est dit « intervalle de validité du modèle »

2.   Déterminer la valeur  telle que , appelée « prix d’équilibre ».

3.   Etudier les variations de  et de sur l’intervalle I         (on précisera les limites en +).

4.   Le plan P est rapporté à un repère orthogonal . Les unités graphiques sont : 2 cm pour une unité sur l’axe des abscisses, et 1 cm pour 2000 unités sur l’axe des ordonnées.

a.   Tracer les courbes représentatives de et de  dans P.

b.   Vérifier graphiquement le prix d’équilibre trouvé à la question 2.

5.   On considère la fonction E f  définie sur I par :  E f () =    (où  désigne la fonction dérivée de ).

            Le nombre E f () s’appelle « élasticité de l’offre par rapport au prix  » ; on admet qu’il indique le pourcentage de variation de l’offre pour un accroissement de  1 % d’un prix  donné :  E f () est négatif lors d’une diminution de l’offre.

a.   Calculer   E f ().

b.   On considère le prix = 3,8. Pour un accroissement de 1% de ce prix, quel est le pourcentage de variation de l’offre ?

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